Նախագիծ – Տարածաչափության աքսիոմները, ուղիղների և հարթությունների փոխադարձ դասավորությունը տարածության մեջ

Առաջադրանք 5

Ապացուցեք, որ մի ուղղի վրա ընկած երեք կետերով անցնում է հարթություն։ Քանի՞ այդպիսի հարթություն կարելի է տանել։

Աքսիոմ։ Մի ուղղի վրա ընկած երեք կետերով կարելի է տանել անվերջ քանակութամբ հարթություններ։

Արդյոք երկու հարթություններ կարող են ունենալ՝

Առաջադրանք 13

Արդյոք կարո՞ղ են երկու հարթություններ ունենալ․

Ա) Միայն մեկ ընդհանուր կետ։

Այո քանի որ, ըստ Աքսիոմի՝ Եթե երկու հարթություն ունի ընդհանուր կետ, ապա ունի նաև ընդհանուր ուղիղ, որի վրա գտնվում են այդ հարթությունների բոլոր ընդհանուր կետերը։

Բ) Այո։

Գ) Այո։

Առաջադրանք 20

Սեղանի միջին գիծն ընկած է հարթության մեջ։ հարթությունը հատում են արդյոք սեղանի հիմքերն ընդգրկող ուղիղները։

AB || EF || DC , EF ϵ α :

m ϵ G; K, H, n ϵ J ; L; I

m ; n հատում են AB; DC AB||EF||DC => m; n հատում են նաև EF :

m;n չեն պատկանում α քանի որ իր ըստ Աքսիոմի ուղղի երկու կետերը պետք է պատկանեն հարթությանը , որպեսզի ուղիղը պատկանի հարթությանը, իսկ α ϵ K; L: m; n զուգահեռ չեն α քանի որ զուգահեռ չեն EF => hatwum en α K; L կետերում։

Առաջադրանք 29

ABCD սեղանի BC հիմքը 12սմ է։ M կետը ընկած չէ սեղանի հարթության մեջ, իսկ K կետը BM հատվածի միջնակետն է։ Ապացուցեք , որ ADK հարթությունը ինչ-որ մի H կետում հատում է MC հատվածը և գտեք ՝ KH հատվածը։

Կա սեղան ABCD , BC – 12cm

M չի ϵ ABCD, K ` BM միջնակետն է։

H ϵ ADK և հատում է MC:

Ապ․, որ՝ ADK հատում է MC, KH-?sm:

BC||AD ; BK=KM

KH ` MBC եռանկյան միջին գիծն է => KH=BC/2 = 12:2= 6

BK/2BK=1/2;

H կետում ADK հարթւոյթունը հատում է CM հատվածը քանի որ, գտնվում է CM հատվածի վրա, եթե չգտնվեր KH չէր լինի MBC եռանկյան միջնագիծը

CM չի պատկանում ADK հարթությանը տես․ ՝ խնդիր 20։ Զուգահեռ չէ ADK հարթությանը ըստ Աքսիոմի ՝ ուղղի երկու կետերը պետք է պատկանեն հարթությանը որպեսզի ուղիղը պատկանի հարթությանը։ Ստացանք որ կամ ADK-ն է հատում CM-ը H կետում, կամ CM-ը ADK հարթությունը H կետում։

Առաջադրանք 38

ABCD շեղանկյան A գագաթով տարված է BD անկյունագծին զուգահեռ a ուղիղը, իսկ C գագաթով այնպիսի b ուղիղ, որն ընկած չէ շեղանկյան հարթության մեջ։

Ա) Ապացուցեք, որ a և CD ուղիղները հատվում են։

a ||BD ; BD և CD ունեն ընդհանուր մեկ կետ ՝ հատվում են (զուգահեռ են այն ուղիղները որոնք չունեն ընդհանուր կետ՝ չեն հատվում) => a և CD ևս հատվում են։

Բ) a-ն և b-ն խաչվող ուղիղներ են։

Ուղիղները չեն հատվում քանի որ չունեն ընդհանուր կետ եթե հատվեին b ուղիղը կպատկաներ ABCD շեղանկյան հարթությանը, զուգահեռ չեն քանի որ b ուղիղը զուգահեռ չէ ABCD հարթությանը զուգահեռ չէ BD-ին։ Այսպիսով ապացուցեցինք, որ b և a ուղիղները խաչվող են։

Առաջադրանք 46

m ուղիղը զուգահեռ է ABCD շեղանկյան BD անկյունագծին և ընկած չէ շեղանկյան հարթության մեջ։ Ապացուցեք, որ՝

Ա) m-ը և AC-ն խաչվող ուղիղներ են և գտեք նրանց կազմած անկյունը։

Կա ABCD շեղանկյուն։

m || BD , ընկած չէ ABCD հարթության մեջ։

______________________________________

Ապ․, որ՝ m-ը և AC-ն խաչվող են, նրանց կազմած <-ը -?:

Լուծում՝

BD||m, m չի ϵ α:

Գիտենք, որ շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են => BD ուղղահայաց է CD, և քանի որ m-ը չի ϵ α և BD||m դրանք խաչվող ուղիղներ են։

Երկու խաչվող ուղիղների կազմած անկյուն անվանում են այդ ուղիղներին զուգահեռ հատվող ուղիղների կազմած անկյունը։

Օգտվելով այս տվյալից, քանի որ գիտենք BD||m => BD – և CD-ի կազմած անկյունը = է 90*=> m և CD խաչվող ուղիղների կազմած անկյունն էլ է կազմում 90*:

Բ) m-ը և AD -ն խաչվող ուղիղներ են, և գտեք նրանց կազմած անկյունը, եթե ABC անկյունը 128* է։

BD AD ունեն ընդհանուր կետ => BD ||AD => (քանի որ չեն կարող խաչվող լինել ϵ ABCD ` հատվող են), m չի ϵ α => AD և m-ը խաչվող ուղիղներ են։

BD-ն հանդիսանում է <D-ի և <B-ի կիսորդ։ Շեղանկյան հանդիպակաց անկյուններն իրար հավասար են => CBO=OBA=CDO=ODA=64*=> m և BD խաչվող ուղիղների կազմած անկյունը հավասար է ՝ 64*: